MySQLとPostgreSQLがメジャーです。
オープンソースといって有志の開発者たちがバージョンアップやメンテナンスをしているデータベースですが、 その中で最も有名なデータベースと言っても過言ではないはずです。 レンタルサーバーへの導入率やドキュメントの充実度などで、 MySQLの方が一般的で有名ではあると思いますが、 PostgreSQLにもコアなユーザーがたくさん存在しており、 比較的大きなシステムでも問題なく動作するデータベースとして信頼されています。